Dato che di questi tempi è possibile viaggiare soltanto con l’immaginazione, oggi ho deciso di raccontarvi una storia che riguarda un hotel… immaginario. Si tratta dell’hotel “gestito” da David Hilbert, immenso matematico tedesco vissuto a cavallo tra il XIX e il XX secolo che, nel 1924, introdusse questo aneddoto in un ciclo di lezioni tenute all’università di Gottinga per spiegare cosa può succedere quando si ha a che fare con l’infinito. 🏨
L’hotel di Hilbert è al completo ma si tratta di uno stabilimento un po’ particolare perché ha un numero infinito di stanze. All’improvviso, nel cuore della notte, si presenta un cliente, che chiede al concierge di trovargli una stanza. Il concierge non si scompone e, anziché liberare lo sgabuzzino delle scope, chiede agli occupanti di ogni stanza di spostarsi nella camera successiva: dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 3 e così via. Essendoci un’infinità di stanze, non si pone il problema di arrivare alla fine, giusto? Ci sarà sempre una stanza “n+1” in cui poter spostare gli occupanti della stanza “n”. Ecco che allora la stanza 1 si è liberata per il nuovo arrivato e, al contempo, nessun cliente è stato scontentato – a parte il fatto di essersi dovuto spostare nel cuore della notte… 😂
Ne segue che infinito + 1 è sempre uguale a infinito. Ma non finisce qui! ♾
Più tardi, ancora più nel cuore della notte, ecco che all’hotel di Hilbert arriva un autobus infinito, che contiene un numero infinito di clienti desiderosi di una stanza. Che fare? Il concierge continua a non scomporsi: questa volta chiede a ciascun occupante di spostarsi nella stanza il cui numero è il doppio della propria: dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, dalla 3 alla 6, dalla 4 alla 8… Con questo trucchetto, si liberano tutte le stanze contrassegnate da un numero dispari (1, 3, 5 etc.), quindi tutti gli infiniti passeggeri del bus hanno un’infinità di stanze in cui andarsi a riposare! 🛎
Ma allora, anche infinito + infinito è sempre uguale a infinito! Questo vuol forse dire che l’infinito non è uno solo, ma ci sono più tipi di infiniti, diversi tra loro? ♾ 🆚 ♾
Se vi siete infinitamente appassionati alle bizzarre proprietà dell’infinito messe in luce dall’albergo di Hilbert, vi consiglio questo articolo della matematica Ana Pires comparso sul blog dell’Institute for Advanced Study di Princeton (quello di Albert Einstein, tanto per intenderci). 😳
SapEvatelo
👉Il trucchetto dell’albergo di Hilbert funziona perché gli infiniti in questione (il numero di camere o quello di clienti) sono dello stesso tipo e sono entrambi “numerabili”. Esistono infatti anche infiniti “non numerabili”, come i numeri reali compresi tra 0 e 1: nel caso di clienti decimali, allora, il concierge avrebbe proprio una brutta gatta da pelare! 😹
